Золотое сечение и Пифагор

Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — это теорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении.

Иоганн Кеплер

Пифагор (VI век до н. э.), как известно, был одним из пионеров греческой учености. Он много путешествовал, побывал в Египте, а потом поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где основал союз ученых – пифагорейский союз, и поставил во главу наук математику, под которой понималась соединение арифметики, геометрии, теории музыки (гармоники) и космологии – тесно связанных друг с другом.

 

Кроме знаменитой теоремы, носящей его имя, Пифагору приписывают построение правильного пятиугольника и открытие додекаэдра – правильного многогранника, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников. Все это было бы невозможно без знания золотого сечения.

 

Среди прочего, пифагорейский союз занимался деятельностью, которую мы назвали бы просвещением – продвигал свои идеи среди богатых и влиятельных людей. Ставил он политические задачи. Собрав много последователей из местной знати, союз фактически пришел к власти в Кротоне, но вызвал серьезные недовольства в среде демократического большинства. Все это закончилось трагически. Вспыхнул антипифагорейский мятеж, многие пифагорейцы погибли, сам Пифагор уехал в Метапонт, где и умер.

Предполагаемый бюст Пифагора. Римская бронзовая копия с греческого оригинала
Предполагаемый бюст Пифагора. Римская бронзовая копия с греческого оригинала

Некоторые особенности древнегреческой математики

Вплоть до Архимеда (287 — 212 гг. до н. э.) греческие математики не признавали дробных чисел. У них были числа (только целые), три вида геометрических величин – отрезки, площади (фигуры) и объемы (тела), а также соотношения или пропорции. Все это тщательно разделялось, и немыслимо было, к примеру, умножить отрезок на отрезок или сложить отрезок с числом. Пропорция же была наиболее универсальной категорией, так как было разрешено говорить о пропорции двух чисел, например 2:3, и такой же пропорции двух отрезков. Сама же пропорция числом не считалась. И уж подавно, запрещено было рассуждать о приблизительных вычислениях. Знания могут быть только точными ! Приблизительные знания - это не знания, а мнения.

 

Такая ригористичность древнегреческой математики была ее основной особенностью, продержавшейся до Архимеда. Это может показаться удивительным для человека, который фактически открыл интегральное исчисление и вычислил число пи с точностью до 1/500. На самом деле, в рассуждения Архимеда не было никакой приблизительности. Он доказал абсолютно точное неравенство

причем чисто геометрическим путем, сравнивая длину окружности с периметрами вписанного и описанного правильных 96-угольников.

 

Понятие пропорции позволяло связать разделы пифагорейской математики – арифметику, геометрию, теорию музыки и космологию – в единое целое. Так, музыкальные интервалы – октава, квинта, кварта – выражались простыми пропорциями 2:1, 3:2, 4:3. А двигаясь по квинтам, получаем все 12 нот.

 

До – Соль – Ре – Ля – Ми – Си – Фа# – До# – Соль# – Ре# – Ля# – Фа

 

Пифагорейская космология размещала планеты на поверхностях прозрачных небесных сфер, вращающихся вокруг центрального огня. Сферы относятся друг к другу как музыкальные интервалы. Это могло бы показаться уже чистой фантазией, если бы не соответствовало фактическому положению дел. 

Так, средние расстояния от солнца до внутренних планет составляют:

 

для Меркурия 57,9 млн. км.,
для Венеры 108,9 млн. км.,
для Земли 149,6 млн. км.,
для Марса 228 млн.км,

 

что довольно точно соответствует пропорции 1:2:3:4. Тем самым между Венерой и Марсом получается октава, между Землей и Венерой – квинта, между Марсом и Землей – кварта. Поэтому уже совершенно логичной кажется идея музыки небесных сфер, которую мы не замечаем только потому, что слышим её постоянно от рождения и привыкли к ней.  

 

Здесь, кстати, есть повод задуматься: потому ли величайшие музыкальные творения, построенные на музыкальном строе, восходящем к Пифагору, кажутся нам божественными и гармоничными, что Пифагор действительно открыл законы гармонии? Или просто за две с половиной тысячи лет мы так привыкли к этим 12 нотам и определенным их сочетаниям, что любой другой строй кажется нам диким и немузыкальным.  

 

К счастью, мы знаем ответ на этот вопрос. Гармоничное сочетание звуков – это не прихоть, не условность, и не привычка. Оно имеет реальную, и даже не физиологическую, а физическую природу. Причем это та же природа, которая заставила внутренние планеты солнечной системы выстроиться в соотношении 1:2:3:4. Это принцип резонанса.  

 

Сложение звуковых волн, частоты которых находятся в простых отношениях – 1:2, 2:3, 3:4, 4:5 – порождает лишь небольшое число так называемых биений (колебаний с частотой суммы и разности частот исходных колебаний). Если же этих биений много, то они загрязняют музыкальное пространство и воспринимаются как какофония. Кстати, на принципе резонанса основан такой прием извлечения звука на струнных музыкальных инструментах, как флажолет.

 

Однако вернемся к основной теме данной статьи. Самое раннее письменное упоминание о золотом сечении мы находим в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Естественно, оно так еще не называлось.


Золотое сечение и числа Фидия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Золотое сечение – это такое деление отрезка на две неравные части, при котором большая часть так относится к меньшей, как весь отрезок относится к большей части.

Полагая |AC|=1, находим

Числа

называют числами Фидия в честь древнегреческого скульптора и архитектора, жившего в V веке до н.э. Исходя из определения золотого сечения, легко показать, что числа эти иррациональные, т.е. не равны ни какому отношению двух целых чисел. 

 

Числа Фидия тесно связаны со знаменитыми числами Фибоначчи – бесконечной последовательностью целых чисел, описанной выдающимся итальянским математиком Леонардо Пизанским (Фибоначчи) при решении задачи о размножении кроликов.


Золотое сечение и пентаграмма

В 30 предложении 6-й книги "Начал" ставится задача “Данный отрезок разделить в крайнем и среднем отношении”. Т.е. большая часть отрезка должна быть средней пропорциональной для всего отрезка и его меньшей (крайней) части:

Далее излагается решение.

 

Нет никаких сомнений, что уже Пифагор и его ученики умели находить золотое сечение с помощью циркуля и линейки, и далее использовали это для построения пентаграммы (пятиконечной звезды) и правильного пятиугольника. Пентаграмма, кстати говоря, была отличительным знаком членов пифагорейского союза. В ее форме мы непосредственно обнаруживаем золотое сечение.

Пентаграмма - символ пифагорейского союза
Пентаграмма - символ пифагорейского союза

Спасибо за внимание, всегда ваш, Виктор Володин

Оставить комментарий

Комментарии: 26
  • #1

    land_driver (Воскресенье, 10 Январь 2016 15:01)

    Непонятно только, зачем Архимеду вдруг потребовалось доказывать это неравенство

  • #2

    Виктор (Воскресенье, 10 Январь 2016 15:27)

    Из любопытства. Всякая наука начинается с любопытства. Нет любопытства, не будет и науки. Архимед вычислил площади и объемы множества фигур.

  • #3

    Valera (Понедельник, 11 Январь 2016 12:35)

    Как показывает практика, большинство живописных произведений, которые считаются шедеврами, не согласуются с Золотым сечением...

  • #4

    Виктор (Понедельник, 11 Январь 2016 13:39)

    В фотографии то же самое.

  • #5

    land_driver (Понедельник, 11 Январь 2016 16:21)

    Так почему именно на этом неравенстве возникло любопытство? Мало ли неравенств можно понаписать

  • #6

    Виктор (Понедельник, 11 Январь 2016 22:06)

    Любопытно решить задачу. В данном случае, вычислить длину окружности. И не именно эту задачу, а и множество других - площадь под параболой, объем конуса, объем шара. Неравенство - это не задача, а ответ. Ответ любопытства не вызывает. Он вызывает гордость.

  • #7

    Виталий (Вторник, 12 Январь 2016 00:28)

    Как говорится, - век учись, а ду... ))
    Честно признаюсь, до сих пор не слышал о таком, казалось бы, азбучном понятии, как золотое сечение, не говоря уже о других особенностях Пифагорейской математики. Учил математику в школе, в техникуме, в вузе. А, может быть, плохо учил и забыл? ) Очень интересно, спасибо, Виктор!
    Завтра обязательно почитаю о золотом сечениии в кино и фотографии. Сегодня уже пора баиньки.

  • #8

    Виктор (Вторник, 12 Январь 2016)

    В школе кроме теоремы Пифагора вряд ли что проходят. А между тем из этой теоремой многое следует. Золотое сечение в том числе.

  • #9

    Татьяна Сова (Среда, 13 Январь 2016 10:18)

    Очень это все интересно! Слышала про золотое сечение и не мало, много где оно имеет место быть. Вот например, сейчас занимаюсь разбором Таро. Так вот там тоже присутствует золотое сечение. В принципе, без него никуда)))) Кстати, в скором времени планировала изучать пентаграмму, и Ваша статья мне будет как помощь, в какой-то степени!

  • #10

    land_driver (Среда, 13 Январь 2016 16:28)

    Естественно, что все строится на базовых понятиях - на том, что напридумывали Пифагор, Архимед, а также Коперник и т.д. А остальные все это просто развивали то, что уже было придумано. Любую теорему в конце концов до теоремы Пифагора разложить можно

  • #11

    Виктор (Среда, 13 Январь 2016 22:31)

    Татьяне: Вот и я узнал что-то новое. Не знал, что золотое сечение имеет отношение к картам Таро.
    land_driver: Да, в каком-то смысле все в конечном итоге сводится к тому, что напридумывали в древности. Правда иногда не прямо, а от противного, через отрицание. Например, геометрия Лобачевского отталкивалась от отрицания 5-го постулата Евклида.

  • #12

    land_driver (Четверг, 14 Январь 2016 21:14)

    Конечно! Все в конечном итоге сводится к таблице умножения!

  • #13

    Виктор (Четверг, 14 Январь 2016 21:54)

    Или, как любил говорить мой приятель, сначала земля была раскаленным шаром.

  • #14

    land_driver (Пятница, 15 Январь 2016 20:31)

    Про раскаленный шар я как раз ничего и не знаю. Но явно - это было до Пифагора

  • #15

    Виктор (Пятница, 15 Январь 2016 22:04)

    Вопрос, с чего начинать? Можно с Пифагора, можно с таблицы умножения, а можно с раскаленного шара.

  • #16

    Александр Рус (Среда, 20 Январь 2016 18:35)

    Из школьной программы мне Пифагор запомнился как математик. По геометрии думаю все знают его теоремы))))
    Про то что он занимался космологией, я и не знал. А про золотое сечение подавно, мы такое в школе не проходили. Чес то сказать, тема статьи познавательна и немного сложновата для понимания, надо хорошо вникнуть что бы разобраться. Но на примере отрезка я понял, что из себя представляет золотое сечение.

  • #17

    Виктор (Четверг, 21 Январь 2016 07:33)

    Теорема Пифагора пронизывает всю математику. Используется она и при построении золотого сечения. А золотое сечение, в свою очередь, при построении правильного пятиугольника, пентаграммы и додекаэдра.

  • #18

    Надежда (Понедельник, 25 Январь 2016 06:53)

    Пифагор - известная личность, со школы все знают про него, и не только из математики, кажется, но физики. Интересно было о нем вспомнить. Вот человек, чего то там доказывал, считал, настоящий ученый.

  • #19

    Виктор (Понедельник, 25 Январь 2016 08:15)

    Из физики вряд ли. Это скорее Аристотель.

  • #20

    land_driver (Вторник, 09 Февраль 2016 19:30)

    Из физики - это, скорее, Архимед

  • #21

    Виктор (Вторник, 09 Февраль 2016 22:12)

    Скорее Архимед.. Скорее Птолемей... Скорее Галилей... Скорее Ньютон... Это замечание имело бы какой-то смысл, если бы Архимед упоминался в школьном учебнике физики, а Аристотель - нет. Кстати, само слово "физика" впервые встречается у Аристотеля.

  • #22

    land_driver (Четверг, 11 Февраль 2016 14:04)

    А про закон Архимеда разве в школе ничего не говорят?

  • #23

    Виктор (Воскресенье, 14 Февраль 2016 13:57)

    По поводу Архимеда как раз очень интересно. Большинство знает Архимеда как гениального механика. Вспомнят закон рычага. Вспомнят "Дайте мне точку опоры..." Вспомнят его замечательные метательные машины, использовавшиеся при героической защите Сиракуз. В последствии подобная "артиллерия" широко применялась в войнах как в античные времена, та и в период средневековья.
    Но математические достижения Архимеда на порядок круче. Вот лишь краткий перечень. Архимед:
    - вычислил площадь под параболой, причем не примерно, а точно (квадратура параболы):
    - вычислил площадь сферы и объем шара, опять же не примерно, а точно;
    - вычислим площади и объемы множества других поверхностей и тел;
    - впервые вычислил сумму бесконечного ряда;
    - решил в общем виде задачу нахождения касательной к кривой.
    Тем самым работы Архимед создал весьма существенные предпосылки для интегрального и дифференциального исчисления. Его математические труды не то что оценить, но понять смогли только в XVII веке. Математический анализ в современном виде оформился в трудах Ньютона и Лейбница уже в конце XVII в. Не знаю как Ньютон, но Лейбниц был хорошо знаком с трудами Архимеда.

  • #24

    land_driver (Среда, 24 Февраль 2016 11:22)

    Что-то при изучении матана Архимеда я не помню. Вот Лейбниц - это да, какждая вторая теорема его именем называлась

  • #25

    Виктор (Среда, 24 Февраль 2016 11:45)

    А ты у Лейбница спроси. Он хорошо помнит.

  • #26

    land_driver (Суббота, 27 Февраль 2016 19:49)

    При случае обязательно обсужу с ним эту тему

 

© Виктор Володин, Россия, Москва, 2002-2016.
Все права на фотографии, представленные в разделе “Портфолио” данного сайта принадлежат автору
и находятся под защитой Российского и международного законодательства по авторским правам.
Распространение или воспроизведение этих фотографий без согласия автора запрещено.