Золотое сечение и числа Фибоначчи

Прочитав в каком-то животноводческом журнале, что мясо кроликов нежно, как у цыпленка, что плодятся они во множестве и что разведение их может принести рачительному хозяину немалые барыши, отец Федор немедленно обзавелся полдюжиной производителей, и уже через пять месяцев собака Нерка, испуганная неимоверным количеством ушастых существ, заполнивших двор и дом, сбежала неизвестно куда.

Ильф и Петров. Двенадцать стульев

Знаменитый итальянский математик Леонардо Пизанский (приблизительно 1170 года – 1250 гг.), прозванный потомками Фибоначчи, знаток индийской и арабской математики, и автор популярной в свое время «Книги абака», как-то изучал закономерности размножения идеальных кроликов.

Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

Такие кролики, по его мнению, должны были регулярно, раз в месяц, начиная со второго после рождения, приносить потомство из двух особей – мужской и женской, и никогда не умирать. Тогда в конце каждого месяца мы имели бы следующее количество пар кроликов:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

 

В получившейся последовательности первые два элемента равны 1, а каждый последующий — сумме двух предыдущих. Последовательность получила свое имя в честь Фибоначчи.

 

У этой последовательности есть ряд замечательных свойств. Во-первых, хотя последовательность Фибоначчи определена рекуррентным образом

тем не менее, существует формула, непосредственно выражающая Fn непосредственно через n

где Φ и φ – числа Фидия:

Любопытно, что разница двух иррациональных чисел

всегда дает в результате целое число. На самом деле, после раскрытия скобок все корни из 5 благополучно сокращаются, и остается целое число.

 

Во вторых, отношение двух соседних элементов последовательности Фибоначчи  Fn+1 : Fn стремится к числу Φ, причем очень быстро:

  2 : 1   2,0
  3 : 2   1,5 
  5 : 3   1,667
  8 : 5   1,6
  13 : 8   1,625
  21 : 13   1,615
  34 : 21   1,619
  55 : 34   1,618

Таким образом, проявляется тесная связь между золотым сечением и числами Фибоначчи. В частности:

 

2:1 соответствует широко известному в кино и фотографии правилу третей.

3:2 предлагает использовать Ф.В.Ковалев в своей книге “Золотое сечение в живописи”

5:3 – это, пожалуй, последнее в этом ряду соотношение, которое мы можем достаточно точно восстановить, не прибегая к помощи специальных инструментов.


Спасибо за внимание, всегда ваш, Виктор Володин

Оставить комментарий

Комментарии: 18
  • #1

    land_driver (Понедельник, 25 Январь 2016 19:32)

    Определение последовательности рекуррентным способом - это сильно. Особенно применительно к кроликам

  • #2

    Виктор (Понедельник, 25 Январь 2016 20:33)

    Применительно к кроликам это как раз вполне естественно, ибо как мы рассчитаем размер потомства, если не знаем сколько у нас уже кроликов.

  • #3

    land_driver (Вторник, 26 Январь 2016 17:05)

    Так это на каждый вид живности надо свои формулы разрабатывать. Под гусей, например, этот алгоритм уже не подойдет

  • #4

    Виктор (Вторник, 26 Январь 2016 17:31)

    Нет, не подойдет. Золотое сечение "порождают" только кролики. Да и то не любые, а "идеальные".

  • #5

    land_driver (Вторник, 26 Январь 2016 18:01)

    и что, ничего нельзя сделать?

  • #6

    Виктор (Вторник, 26 Январь 2016 18:29)

    "Деланье" здесь в принципе не поможет

  • #7

    land_driver (Среда, 27 Январь 2016 17:38)

    Насчет 5:3 непонятно. Т.е. 2:1 и 3:2 - для этого нужны специальные инструменты, а 5:3 - ничего не надо что-ли?

  • #8

    Виктор (Среда, 27 Январь 2016 17:54)

    Имеется ввиду, что соотношения 2:1, 3:2 и 5:3 довольно легко примерно определить "на глазок". А вот 8:5, и уж тем более 13:8 уже сложно.

  • #9

    land_driver (Среда, 27 Январь 2016 18:14)

    Вот можешь же ты в ступор непосвященного человека вогнать

  • #10

    Виктор (Четверг, 28 Январь 2016 07:23)

    Видимо, не хватает таланта популяризатора. Но с другой стороны, может быть это не так плохо? После ступора часто случается прорыв, эврика.

  • #11

    land_driver (Четверг, 28 Январь 2016 18:56)

    Чего-то у меня пока эврики не получается, надо подождать, видимо, немного

  • #12

    Виктор (Четверг, 28 Январь 2016 21:25)

    Если что-то непонятно, всегда можно задать уточняющий вопрос. Можно, конечно, и риторический.

  • #13

    land_driver (Четверг, 04 Февраль 2016 20:22)

    помню, в институте на матане начинаешь преподу говорить, типа, я вообще тут ничего не понимаю, а он отвечал, скажи конкретно, что и в каком месте непонятно. Вот это и было самое сложное

  • #14

    Виктор (Понедельник, 08 Февраль 2016 08:06)

    Непонимание всегда возникает в конкретный момент. Т.е. сначала ты все понимаешь, а потом перестаешь понимать. Поэтому твой препод по матану был совершенно прав. Например фразу "Знамениты итальянский математик" я думаю ты понимаешь. Бывает однако и так - если найти то место, где понимание исчезло, то предшествующая фраза может казаться совершенно понятной, в то время как на самом деле ты понимаешь ее неправильно.

  • #15

    land_driver (Понедельник, 15 Февраль 2016 13:33)

    Правильно сформулированный вопрос - уже считай половина ответа. А у меня на матане часто было, что даже сформулировать, что конкретно непонятно, было невозможно.

  • #16

    Виктор (Среда, 17 Февраль 2016 20:02)

    Я думаю, всегда можно сформулировать, что непонятно. Ты даже сформулировала - "я вообще тут ничего не понимаю".

  • #17

    land_driver (Воскресенье, 21 Февраль 2016 15:43)

    Вот именно на формулировку "я вообще тут ничего не понимаю" у моего преподавателя был стандартный ответ - скажите конкретно, что вам непонятно

  • #18

    Виктор (Воскресенье, 21 Февраль 2016 15:59)

    Его тоже можно понять. Он лекцию читает (ну или семинар веред). Это предполагает ответы на некоторое количество уточняющих вопросов. А ты предлагаешь превратить все это в персональную консультацию...

 

© Виктор Володин, Россия, Москва, 2002-2016.
Все права на фотографии, представленные в разделе “Портфолио” данного сайта принадлежат автору
и находятся под защитой Российского и международного законодательства по авторским правам.
Распространение или воспроизведение этих фотографий без согласия автора запрещено.